ГОЛОВОЛОМКИ

Сколько было яиц?

Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар?

Ответ: Задачу решают с конца. После того как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляют вторую половину того, что осталось после первой продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, принесенных ею на базар, семь.

Задача Льва Толстого

Задачка для второго класса церковноприходской школы. Придумана Львом Толстым. Сейчас ее правильно могут решить только 30% старшеклассников и только 20% студентов ВУЗов

Задача. Продавец продает шапку. Стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 р. Продавец отсылает мальчика с этими 25 р. к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу в 15 руб. Через какое то время приходит соседка и и говорит, что 25 р. фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.

Вопрос: на сколько обманули продавца?

Ответ: Рассуждаем: доходы продавца: 25р от мальчика расходы: шапка (10р) + сдача (15р) + соседка(25р) итого 25-50=-25, т.е. убыток 25р

Можно рассуждать и по другому: соседка осталась при своих деньгах (25р отдала на размен, потом 25р забрала у торговца), т.е. ее можно не учитывать. Покупатель ушел с 15р сдачи и шапкой за 10р, т.е. убыток торговца составил как раз 25р (15р сдачи + 10р шапка).

Баржа в шлюзе

Баржа с грузом металлолома на борту вошла в шлюз. По какой-то неизвестной причине (ну захотелось им) матросы на барже принялись сбрасывать металлолом в воду и занимались этим до тех пор, пока полностью не опустошили трюмы баржи. Что произойдет с уровнем воды в шлюзе?

Ответ: Уровень воды в шлюзе понизится. Дело в том, что по закону Архимеда любое плавающее тело вытесняет объем воды, вес которого равен весу тела. Так как железо гораздо тяжелее воды, объем вытесняемой воды, когда железо находится на плаву, в трюме баржи, гораздо больше объема железа. Когда же железо оказывается в воде на дне шлюза, оно вытесняет лишь то количество воды, которое соответствует его объему. Следовательно, уровень воды в шлюзе, после того как железо выброшено за борт, должен понизиться.

Сколько стоит пирамидка?

Хозяин одного магазина игрушек продавал игру за 14 центов, поезд за 21 цент, пароход за 28 центов, а куклу за 21 цент. Как вы думаете, во сколько он оценил пирамидку?

Ответ: Пирамидка стоит 35 центов: хозяин магазина берет по 7 центов за каждую согласную букву в названии игрушки.

Основание Карфагена

Об основании города Карфагена существует древнее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку. Там она купила у нумидийского царя столько земли, "сколько занимает воловья шкура". Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, а впоследствии был построен и город.

 Попробуйте приблизительно определить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что размер воловьей шкуры 4 кв. м., а ширина ремешков, на которые Дидона ее разрезала, 1 мм.

Ответ: Если площадь воловьей шкуры 4 кв. м. (или 4 млн. кв. мм.), а ширина ремешков 1 мм., то общая длина вырезанного ремня (Дидона, надо думать, вырезала его спирально) - 4 миллиона миллиметров, или 4000 метров, т.е. 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок 1 кв. км. и круглый - в 1,3 кв. км.

Стая уток

Летела стая уток. Одна впереди, две позади; одна позади и две впереди; одна между двумя и три в ряд. Сколько летело уток?

Ответ: Летели одна за другой три утки.

Влезет или нет?

Вырежьте в листе плотной бумаги круглую дырку и предложите кому-нибудь просунуть в нее монетку, бОльшую по диаметру. Надрывать бумагу или каким-то образом сгибать и ломать, а также распиливать монету - нельзя.

Ответ: Сложите лист бумаги "кульком", дыра должна находиться в самом низу. Затем возьмите бумагу обеими руками и попросите кого-нибудь бросить монетку в "кулек" - пусть она упадет прямо на дно и выглянет нижним концом из дырки. После этого слегка приподнимите углы "кулька" - этого окажется достаточно, чтобы отверстие увеличилось и монетка через секунду-другую вывалилась в дырку. При этом бумага осталась неповрежденной.

Безопасная переправа

Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка небольшая: в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только коза, или только волк, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?

Ответ: Ясно, что начинать приходится с козы. Крестьянин, перевезя козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед за тем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно.

Семья маляров

У трех маляров был брат Иван, а у Ивана братьев не было. Как это могло случиться?

Ответ: Маляры были сестрами.

Как поделить?

Как разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Ответ: Один человек берет яблоко вместе с корзиной.

Задача Диофанта

Найдите три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок.

Ответ: Числа 5, 15 и 25.

Кролики Фибоначчи

Эта задача придумана итальянским ученым Фибоначчи, жившим в 13-м веке.

 Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Ответ: 377 пар. В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце - 5 пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце - 8 пар: 3 пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившишиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m - порядковый номер месяца, то Nm = Nm-1 + Nm-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Дед и внуки

Эта задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого.

 Чтобы порадовать внуков, дед купил для них орехи. Но прежде чем разрешить внукам полакомиться, дед попросил внуков поделить орехи на две части, чтобы меньшая часть, увеличенная в четыре раза, была бы равна большей части, уменьшенной в три раза. Что за части?

Ответ: 1 и 12 орехов. Также правильным ответом будет любая пара целых чисел с соотношением 12 к 1.

Ученики

Еще одна задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого.

Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: "Скажи, сколько учеников у тебя в классе?" Учитель ответил: "Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?

Ответ: 36 учеников.

Трудное наследство

Итальянец Тарталья, который первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения, придумал задачу о семнадцати лошадях.

 В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей следовало поделить между тремя наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой. Как выполнить завещание?

Ответ: 2, 6 и 9 лошадей. Сам Тарталья предложил следующее решение. Для раздела имеющихся лошадей необходимо заимствовать еще одну, после чего их общее количество станет 18. Раздел этого количества даст 2, 6 и 9 лошадей, которых в сумме окажется 17. Одна лошадь из 18 оказалась как бы "лишней" - это заимствованная лошадь, которую следует вернуть владельцу после раздела имущества. Проще решить головоломку иначе: пропорцию 1\2 : 1\3 : 1\9 достаточно домножить на 18 и получится тот же результат.

Странный дом

Сооружено это жильё всего из одного камня, либо из досок деревянных двух. Есть у дома сего ограда, цветник, подвал. Живёт в сеём жилище всего один человек, стар или млад. Но не выходит человек этот из подвала, ни чтобы цветником полюбоваться, ни чтобы иное дело сделать. Не двигается и не ест и не пьёт человек сей. Вопрос: почему?

Ответ: "Жилец" - покойник. Камень - надгробие, две доски - крест, цветник - высаженные цветы.

Голодный студент

На сковороде могут одновременно жариться две котлеты. Каждую котлету нужно обжаривать с двух сторон, при этом на обжаривание ее с одной стороны требуется 2 мин. Голодный студент мечтает побыстрее поджарить три котлеты. Какое наименьшее время ему потребуется?

Ответ: Поджарив одну сторону пары котлет, студент переворачивает одну котлету, другую снимает и заменяет ее на третью. Через 2 мин на сковороде будет одна готовая котлета, которую можно уже есть и заменить на снятую ранее со сковороды. Всего на поджаривание уйдет 6 мин.

Спасение семейства

Король, его сын принц и дочь принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно. Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение. Естественно как только одна корзина становилась тяжелее другой она опускалась. Однако если разница в весе превышает 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз. Единственное что помогло бы пленникам бежать из плена, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов - его можно было попытаться использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?

Ответ: 1. Спускается принцесса, используя ядро в качестве противовеса.

2. Принцеса достигнув земли не вылезает из корзины. Принц занимает место ядра и спускается вниз, используя принцессу в качестве противовеса.

3. Принцесса поднялась вверх и вместе с королем положила в корзину ядро.

4. В опустившуюся корзину с ядром садится принц, что позволяет опустить короля.

5. Когда король оказался на земле, принц с ядром оказался наверху. Принц вылез из корзины и корзина с ядром опустилась вниз.

6. В пустую корзину у темницы садится принцесса и спускается на землю.

7. Принц вытаскивает ядро из поднявшейся корзины и спускается сам, исспотльзуя принцессу как противовес.

8. Принцесса опускает в пустой корзине ядро, а сама садится в поднявшуюся и спускается, используя ядро в качестве противовеса.

Переправа, переправа

Семья (папа, мама, сын и бабушка) ночью подошла к мосту, способному выдержать только двух человек одновременно. По мосту можно двигаться только с фонариком. Известно, что папа может перейти мост в одну сторону за минуту, мама - за две, сын - за пять и бабушка - за десять минут. Фонарик у них один. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках тоже. Если по мосту идут двое, время перехода определяется наиболее медлительным членом семьи. Как семье переправиться за 17 минут?

Ответ: Первыми переходят мама и папа (2 мин), папа возвращается (1 мин), переходят сын и бабушка (10 мин), мама возвращается (2 мин), переходят папа и мама.

Перед спектаклем

Три актера готовятся к спектаклю. С ними работают два опытных гримера. Каждый актер должен быть накрашен и причесан. Макияж у каждого актера продолжается полчаса, а причесывание только 10 минут.

Как быстро три актера смогут подготовиться к выходу на сцену?

 Ответ: На подготовку актеров уйдет один час. За это время первый гример сделает макияж двум актерам (30 + 30 = 60 минут), а второй гример сделает макияж третьему актеру, и причешет всех трех актеров (10 + 30 + 10 + 10 = 60 минут).

На другой берег

Трое учеников пошли на рыбалку, взяв с собой лодку, выдерживающую нагрузку до 100 кг. Как перебраться ученикам с берега реки на остров, если их массы равны 40 кг, 50 кг, 70 кг?

Ответ: Обозначим для краткости: Б - берег, О - остров,  40 - ученик с массой 40 кг,  50 - ученик с массой 50 кг,  70 - ученик с массой 70 кг

Б-О: плывут 40 и 50 (на Б остался 70)

О-Б: возвращается 40 (на О остался 50)

Б-О: плывет 70 (на Б остался 40)

О-Б: возвращается 50 (на О остался 70)

Б-О: плывут 40 и 50

Вредный математик

Три второклассника делят 24 яблока. Пока у них есть три кучки: 11, 7 и 6 яблок соотвественно, но они хотят поделить их поровну. Один из этих второклассников, хитрый математик, предложил двум другим такое пари:

- Вы должны будете уравнять количество яблок в кучках, но строго по моей системе: из одной кучки берёте столько яблок, сколько их в той кучке, куда вы добавлять собираетесь. Но сделать это вы должны строго за 3 перекладывания. Сможете - все яблоки ваши, нет - они мои.

 - Давай! - согласились двое. Подумали с минутку и сумели так сделать. И вот они, довольно хрумкая яблоками, утопали от вредного математика. А вы бы смогли так сделать?

Ответ: Цифры в скобках обозначают кол-во яблок в каждой из кучек.

1. (11,7,6) перекладываем 7 яблок из первой кучки во вторую.

2. (4,14,6) перекладываем 6 яблок из 2 кучи в третью.

3. (4,8,12) перекладываем 4 яблока из 3 кучи в первую

4. (8,8,8) - условие выполнено.

В лодке с недругом

Три миссионера и три каннибала должны пересечь реку в лодке, в которой могут поместиться только двое. Миссионеры должны соблюдать осторожность, чтобы каннибалы не получили на каком-либо берегу численное преимущество. Как переплыть реку?

Ответ: Первыми пересекают реку миссионер и каннибал. После этого миссионер возвращается. Затем пересекают реку два каннибала. Один из них возвращается. Потом два миссионера пересекают реку. Миссионер и каннибал возвращаются. Два миссионера пересекают реку. Один каннибал возвращается. Два каннибала пересекают реку. Один каннибал возвращается. Два оставшихся каннибала пересекают реку.

Хирургия

Трём хирургам необходимо последовательно прооперировать в полевых условиях больного, страдающего заразным заболеванием. Сами хирурги тоже больны, причём все - разными болезнями. В распоряжении хирургов есть лишь две пары стерильных перчаток. Подскажите план операции, после которой ни хирурги, ни больной не заразятся друг от друга. (Помогать друг другу во время операций хирурги не должны. Оперировать одной рукой нельзя.)

Ответ: Первый хирург может надеть сразу две пары перчаток. Затем второй хирург наденет ту пару, которая была внешней во время первой операции. А третий хирург будет делать операцию опять в двух парах перчаток, причём внешняя останется внешней, а пара перчаток, бывшая во время первой операции внутренней, останется внутренней, но будет вывернута наизнанку.

Верблюд и бананы

Верблюд выращивает бананы. В этом году он собрал богатый урожай - 3000 бананов. Но вот незадача - ближайшее место, где их можно продать, находится за 1000 км. За один раз верблюд может унести не более 1000 бананов, при этом за каждый километр пути он съедает 1 банан.

Какое максимальное количество бананов может продать верблюд?

Ответ:

1. Сначала верблюд переносит бананы на 200 км. Берёт 1000 бананов, 200 съедает в пути, 600 оставляет, идёт назад, и так, пока не перенесёт всё. Это занимает 3 ходки и даёт 2000 бананов на точке "200 км".

2. Теперь верблюд переносит бананы ещё на 333 км. Берёт 1000 бананов, 333 съедает в пути, 334 оставляет, идёт назад, берёт оставшуюся 1000 бананов, 333 съедает в пути, 667 приносит, что даёт в общей сложности 1001 банан на точке "533 км".

3. Осталось пройти 467 км с 1001 бананом. Верблюд вхолостую съедает один банан (чтоб не пропадал) и пускается в путь. На рынок он приносит 533 банана.

Чайная комбинаторика

В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Ответ: Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 ( 15=5*3 ).

Разноцветные елки

а) Сколькими способами можно покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски неограничено, а каждую елку красим только в один цвет?

б) Есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами можно украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?

 в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Ответ:

а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3*3*3*3*3 = 35 = 243.

б) На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку — любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем 5*4*3*2*1 = 120 способов.

в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ – 5 в пятой степени = 3125.

Перчатки

Глория больше всего любит желтый и розовый цвета. В ящике для перчаток у Глории лежат шесть пар желтых и шесть пар розовых. Они перемешаны в беспорядке. Сколько перчаток Глория должна вытащить из ящика, чтобы среди них наверняка оказалась пара одного цвета? Глории все равно, какого цвета окажется эта пара - желтого или розового.

Ответ: Может получится так, что Глория вытащит все 12 перчаток на левую руку. Но уже следующей перчатке обязательно найдется пара. Значит, для полной уверенности нужно вытащить 13 перчаток.

Варенье

У вас в тёмном чулане стоят банки с вареньем трёх сортов: яблочное, сливовое и земляничное. Какое наименьшее количество банок вам надо взять, не глядя, чтобы среди них наверняка оказалось не менее девяти банок с вареньем одного сорта?

Ответ: 25 банок. При этом распределение по сортам будет (к примеру) таким: 8 банок - с яблочным вареньем, 8 - со сливовым и 9 - с земляничным (8+8+9=25). Двадцати четырех банок для выполнения условия уже не хватает: каждого сорта может быть только по 8 банок.

Завтрак людоеда

У людоеда в подвале томятся 25 пленников.

а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?

б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Ответ:

а) На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед - любого из 24 оставшихся, а на ужин - кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем 25*24*23 = 13800 способов.

б) Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3*2*1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800/6 = 2300.

Сколько переводчиков?

На международную конференцию приехали 10 делегатов, не понимающих языка друг друга. Какое минимальное число переводчиков потребуется для обслуживания конференции при условии, что каждый переводчик знает только два языка?